Résumé du livre

La collection Mathématiques 2^e cycle se propose de mettre à la disposition des étudiants de licence et de maîtrise de mathématiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu'aux élèves des grandes écoles.

Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous : les sujets traités sont présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels et de nombreux exercices. Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande expérience de l'enseignement des mathématiques au niveau supérieur.

Ce livre de Philippe Saux Picart et Eric Rannou, comme le Cours de calcul formel, algorithmes fondamentaux publié en 1999, présente quelques aspects de l'algèbre effective ainsi que des applications. Le lecteur y découvrira la belle théorie des corps finis, ainsi que ses applications aux tests de primalité et à la factorisation des polynômes. Une brève introduction aux codes correcteurs et à la cryptographie le convaincra de l'importance des applications pratiques de ces théories algébriques. Il verra aussi comment les bases de Gröbner, assez récemment introduites en algèbre, permettent la construction d'algorithmes efficaces pour la division de polynômes à plusieurs variables, et appréciera les importants progrès qui en découlent pour la résolution de systèmes d'équations polynomiales et l'étude des ensembles algébriques.

Ce livre intéressera tous les utilisateurs de systèmes de calcul formel et, tout particulièrement, les candidats à l'Agrégation, que les nombreux exercices prépareront aux épreuves dites de modélisation. Pour garder à cet ouvrage un volume acceptable, les solutions de ces exercices ont été placées sur Internet à une adresse indiquée par les auteurs, où elles pourront être librement consultées.